Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接AF、BE交于點(diǎn)G，連接CE、DF交于點(diǎn)H.

（1）求證：四邊形EGFH為平行四邊形；

（2）當(dāng)= 時(shí)，四邊形EGFH為矩形。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

(2)當(dāng)時(shí)，平行四邊形EGFH是矩形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）可分別證明四邊形AFCE是平行四邊形，四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出GF∥EH，GE∥FH，即可證明四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）證出四邊形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF=90°，即可得出結(jié)論．

證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC.

∵點(diǎn)E. F分別是AD、BC的中點(diǎn)

∴AE=ED=AD,BF=FC=BC，

∴AE∥FC，AE=FC.

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∴GF∥EH.

同理可證：ED∥BF且ED=BF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形.

∴GE∥FH.

∴四邊形EGFH是平行四邊形.

(2)當(dāng)時(shí)，平行四邊形EGFH是矩形.理由如下：

連接EF,如圖所示：

由(1)同理可證四邊形ABFE是平行四邊形，

當(dāng)時(shí)，即BC=2AB，AB=BF，

∴四邊形ABFE是菱形，

∴AF⊥BE,即∠EGF=90，

∴平行四邊形EGFH是矩形.