Question

如圖，單位正方形ABCD被EF、GH分成相等的矩形．試問：是否存在另外的分法，既能將單位正方形分成面積相等的三個多邊形，又能使三個多邊形的公共邊界小于EF與GH的和．

Answer 1

分析：首先設出正方形ABCD的邊長為1，計算出EF+GH的值為

5

3

，再進一步利用三部分面積相等求出三部分的面積為

2

3

，設GH∥AD且GH=x，根據勾股定理求出EG 和FG的長度，根據GH+EG+GF＜

5

3

求出x的范圍即可進行判斷．

解答：解：如圖，

設正方形ABCD的邊長為1，
由于分成三面積相等，可以計算得出EF+GH=1+

2

3

=

5

3

，
存在，
假如能作出符合條件的圖形如圖（2），
設GH∥AD，延長HG交AB于N，過E作EQ⊥NH于Q，GH=x，
由梯形的面積公式得：

1

2

（x+DE）•

1

2

=

1

3

，
即：DE=

4

3

-x，
∴AE=1-（

4

3

-x）=-

1

3

+x，
QG=1-（-

1

3

+x）-x=

4

3

-2x，
又∵EQ=

1

2

，
在△EQG中由勾股定理得：EG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
同理：FG=

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

，
GH+EG+GF=x+2

( 4 3 -2x)2+( 1 2 )2

＜

5

3

，
解得：0＜x＜

22

45

，
只要符合上面條件的GH的值都能畫出，
故答案為：存在．

點評：此題主要利用正方形的性質，梯形的面積公式，勾股定理等知識，能正確利用知識進行計算是解此題的關鍵．