Question

如圖，過原點的直線l₁：y=3x，l₂：y=

1

2

x．點P從原點O出發沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動．直線PQ交y軸正半軸于點Q，且分別交l₁、l₂于點A、B．設點P的運動時間為t秒時，直線PQ的解析式為y=-x+t．△AOB的面積為S_l（如圖①）．以AB為對角線作正方形ACBD，其面積為S₂（如圖②）．連接PD并延長，交l₁于點E，交l₂于點F．設△PEA的面積為S₃；（如圖③）

（1）S_l關于t的函數解析式為

 

；（2）直線OC的函數解析式為

 

；
（3）S₂關于t的函數解析式為

 

；（4）S₃關于t的函數解析式為

 

．

Answer 1

分析：（1）把直線PQ的解析式分別與直線l₁，l₂的解析式聯立，求出A，B兩點坐標，用坐標表示三角形的底、高，運用割補法求S₁；
（2）由于直線PQ與x軸的夾角為45°，根據正方形的性質可得，AC⊥x軸，BC∥x軸，C點橫坐標與點A相同，縱坐標與點B相同，直線OC解析式可求；
（3）根據（1）（2）所得A、B、C三點坐標，可求AC，BC的長，從而，就可以表示S₂了；
（4）用（2）的方法，可推出D點坐標（

2

3

t，

3

4

t），又P（t，0），可求直線PD解析式，從而可求點E的坐標，用S₃=S_△OEP-S_△OAP可表示面積．

解答：解：（1）∵直線l₁與直線PQ相交于點A，
∴

y=3x y=-x+t

，解得

x= t 4 y= 3t 4

，
∴A點坐標為（

t

4

，

3t

4

）
∵直線l₂與直線PQ相交于點B，
∴

y= 1 2 x y=-x+t

，解得

x= 2 3 t y= t 3

∴B點坐標為（

2t

3

，

1

3

t）．
∴S₁=S_△AOP-S_△BOP=

5

24

t²

（2）由（1）得，點C的坐標為（

t

4

，

t

3

）．
設直線OC的解析式為y=kx，根據題意得

t

4

k=

1

3

t，
∴k=

4

3

，
∴直線OC的解析式為y=

4

3

x．

（3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的邊長CB=

2

3

t-

1

4

t=

5

12

t，
∴S₂=CB²=（

5t

12

）²=

25t2

144

．

（4）設直線PD的解析式為y=k₁x+b，由（1）知，點D的坐標為（

2

3

t，

3

4

t），
將P（t，0）、D（

2t

3

，

3t

4

）代入得

tk1+b=0 2 3 tk1+b= 3 4 t

，
解得

k1=- 9 4 b= 9 4 t

∴直線PD的解析式為y=-

9

4

x+

9

4

t．
由

Y=- 9 4 x+ 9 4 t y=3x

，
得

x= 3 7 t y= 9 7 t

∴E點坐標為（

3

7

t，

9

7

t）
∴S₃=S_△EOP-S_△AOP=

1

2

t•

9

7

t-

1

2

t•

3

4

t=

15

56

t²．

點評：本題考查了點的坐標求法，正方形的性質，采用了三角形面積的割補法表示面積．