Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖,C、D兩點的坐標分別為(8,0)、(0,6).現有兩動點P、Q分別從A、C同時出發,點P沿折線ADC向終點C運動, 點Q沿線段CA向終點A運動,當P、Q兩點中有一點到達終點時,另一點也立即停止運動,設運動時間為t秒.

(1)填空：菱形ABCD的邊長是           ,面積是           ；

(2)探究下列問題：

①若點P的速度為每秒2.5個單位,點Q的速度為每秒3個單位,求△APQ的面積S關于t的函數關系式,并求出S的最大值；

②在運動過程中,能否使得△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形,若存在,求出t的值；若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）10,24；（2）①S最大=16；②或.

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理可求得菱形ABCD的邊長是10,用菱形的面積公式即可求出面積；

（2）①分情況討論P點的位置,借助三角形相似進行計算；

②分別討論當∠APQ=90°時,當∠AQP=90°時,t的取值即可.

試題解析：（1）10,24；

（2）①當P點在AD上時（0<t<4）

由題意,得AP=2.5t,AQ=16－3t.

如圖1,過點P作PG⊥AC,垂足為G,則 △APG∽△ADO,

∴,

∴PG=,

∴.

當P點在CD上時,Q先到終點,故 

AD+DP=2.5t,CQ==3t,則AQ=16-3t,CP=20-2.5t,

過點P作PG⊥AC,垂足為G,則 △PCH∽△DCO,

∴,

∴PH=12-,

∴.

當0<t<4時,,

當4≤t＜時,對稱軸為t= ,

根據二次函數的增減性t=4,S最大=12,

綜上可知：S最大=16 ；

②∵△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形,

∴△APQ為直角三角形.

當∠APQ=90°時,

AP=2.5t,CQ=3t,則AQ=16－3t.

∵∠APQ=∠AOD=90°

∠PAQ=∠DAO

∴△APG∽△ADO,

∴,

∴ 

∴ 

當∠AQP=90°時,

AP=2.5t,CQ=3t,則AQ=16－3t.

∵∠AQP=∠AOD=90°

∠PAQ=∠DAO

∴△APG∽△ADO,

∴,

∴ 

∴ 

∴當或時,△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形.

考點：1.三角形相似,2.旋轉問題.