Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為（4，0），（0，3）．現有兩動點P，Q分別從A，C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長是

 

、面積是

 

、高BE的長是

 

；
（2）探究下列問題：
①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位．當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；
②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中，任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形．請探究當t=4秒時的情形，并求出k的值．

Answer 1

分析：（1）已知C，D的坐標，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的長即菱形的邊長．菱形的面積就是4個Rt△COD的面積．BE的長可用菱形的面積和菱形的邊長來求得．
（2）①求△APQ的面積關鍵是求出底邊AP上的高，過Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根據相似三角形△AQG和△ABE來求出QG的長，然后根據三角形的面積計算方法即可得出關于S，t的函數關系式．然后根據得出的函數的性質即可得出S的最大值，以及對應的t的值．
②若要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，那么△APQ需滿足的條件為△APQ為等腰三角形．因此可分兩種情況進行討論：
第一種情況：當Q在CB上時（圖2）；
由于AP=4＜BE，而BE是AD，BC間的最短的線段，因此只有一種情況即AQ=PQ，可仿照二的方法，過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交AC于點F，可通過相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，求出FM的長；而Q₁M=BE，因此可求出Q1F的長，在直角三角形CQ₁F中，可根據∠ACB的正切值求出CQ₁的長，然后根據t=4即可求出k的值．
第二種情況：當Q在AB上時；
一，AP=AQ（圖3），此時P，Q₂關于x軸對稱，已知了AP=t=4，因此Q運動的路程為CB+AB-AP=6，根據t=4即可求出k的值．
二，AP=PQ（圖4），如果過P作PM⊥AB于B，那么△ANP∽△AEB，可根據相似得出的比例線段求出AN的長，也就能求出AQ₃的長，然后根據一的方法求出k的值．

解答：解：（1）菱形ABCD的邊長是5，面積是24，高BE的長是

24

5

；

（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t．
如圖1，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP•QG=-

24

25

t²+

24

5

t
（

5

2

≤t＜5）．
∵S=-

24

25

（t-

5

2

）²+6（

5

2

≤t＜5）．
∴當t=

5

2

時，S最大值為6．

②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只需△APQ為等腰三角形即可．
當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=4．
以下分兩種情況討論：
第一種情況：當點Q在CB上時，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在點Q₁，使Q₁A=Q₁P．
如圖2，過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交AC于點F，則AM=

1

2

AP=2．
由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，得

FM

AM

=

Q1F

CQ1

=

OD

AO

=

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴Q1F=MQ1-FM=

33

10

．
∴CQ₁=

4

3

Q1F=

22

5

．則

1×t

k•t

=

AP

CQ1

，∴k=

CQ1

AP

=

11

10

．

第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q₂，Q₃，
分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
i：若AP=AQ₂，如圖3，CB+BQ₂=10-4=6．
則

1×t

k•t

=

AP

CB+BQ2

，
∴k=

CB+BQ2

AP

=

3

2

．

ii：若PA=PQ₃，如圖4，過點P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

=

AP

AB

．
∵AE=

AB2-BE2

=

7

5

，
∴AN=

28

25

．
∴AQ₃=2AN=

56

25

，
∴BC+BQ₃=10-

56

25

=

194

25

則

1×t

k•t

=

AP

CB+BQ3

．
∴k=

CB+BQ3

AP

=

97

50

．
綜上所述，當t=4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為

11

10

或

3

2

或

97

50

．

點評：本題主要考查了菱形的性質，圖形的翻折變換，相似三角形的性質以及二次函數等知識點，要注意（3）中，要跟Q點位置的不同分情況進行討論，不要漏解．