Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為(4,0)，(0,3).現有兩動點P,Q分別從A,C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒.

 

 

1.填空：菱形ABCD的邊長是  ▲  、面積是  ▲  、 高BE的長是  ▲  ；

2.探究下列問題：

①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數關系式，以及S的最大值；

②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請探究當t = 4 秒時的情形，并求出k的值.

 

Answer 1

【答案】

 

1.5, 24,

2.①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.

如圖1,過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得

 

 

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=,

∴(≤t≤5).

∵(≤t≤5).

∴當t=時，S最大值為6.

② 要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組

成的四邊形為菱形，根據軸對稱的性質，只需△APQ為等腰三角形即可.

當t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.

 

以下分兩種情況討論:

第一種情況：當點Q在CB上時, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在點Q₁,使Q₁A=Q₁P.

如圖2,過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交  AC于點F,則AM=.

 

 

由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F,得

, ∴,

∴.

∴CQ₁==.則,

∴ 

第二種情況：當點Q在BA上時,存在兩點Q₂,Q₃,分別使A P= A Q₂,PA=PQ₃.

①  若AP=AQ₂，如圖3,CB+BQ₂=10-4=6.

 

 

則,∴.

②若PA=PQ₃，如圖4,過點P作PN⊥AB，垂足為N，

 

 

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE= , ∴AN＝.

∴AQ₃=2AN=,  ∴BC+BQ₃=10-

則.∴.

綜上所述，當t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，

翻折后得到菱形的k值為或或.

 【解析】略