Question

（本小題滿分12分）已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

1.(1)填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是  ▲  、面積是

  ▲  、 高BE的長(zhǎng)是  ▲  ；

2.(2)探究下列問(wèn)題：

①若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；

②若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵?i>k個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t = 4 秒時(shí)的情形，并求出k的值.

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）5  , 24,

2.（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.     …………………………………………1分

如圖1,過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得   

△AQG∽△ABE,∴,

∴QG=, …………………………1分

∴(≤t≤5).

……1分

∵(≤t≤5).

∴當(dāng)t=時(shí)，S最大值為6.…………………1分

② 要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組

成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可.

當(dāng)t=4秒時(shí)，∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，∴AP=.………………1分

以下分兩種情況討論:

第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí), ∵PQ≥BE>PA，∴只存在點(diǎn)Q₁,使Q₁A=Q₁P.

如圖2,過(guò)點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交  AC于點(diǎn)F,則AM=.

由△AMF∽△AOD∽△CQ₁F,得

, ∴,

∴. ………………1分

∴CQ₁==.則,

∴ .……………………………1分

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí),存在兩點(diǎn)Q₂,Q₃,

分別使A P= A Q₂,PA=PQ₃.

①若AP=AQ₂，如圖3,CB+BQ₂=10-4=6.

則,∴.……1分  

②若PA=PQ₃，如圖4,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，

由△ANP∽△AEB,得.

∵AE= , ∴AN＝.

∴AQ₃=2AN=,  ∴BC+BQ₃=10-

則.∴.

………………………1分

綜上所述，當(dāng)t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ

沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.

 

【解析】略