Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．點P在△ABC內，且PA=

3

，PB=5，PC=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ與△ACP相似比為2，繼而可得△APQ與△BPQ是直角三角形，根據直角三角形的性質，即可求得△ABC的面積．

解答：解：如圖，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
則△ABQ∽△ACP，
∵AB=2AC，
∴△ABQ與△ACP相似比為2，
∴AQ=2AP=2

3

，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ=

AQ2-AP2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，
∴∠BQP=90°
作AM⊥BQ于M，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM=

3

，AM=3，
∴AB²=BM²+AM²=（4+

3

）²+3²=28+8

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

3

8

AB²=

6+7 3

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的判定與性質以及三角函數的性質．此題難度較大，解題的關鍵是輔助線的構造，還要注意勾股定理與勾股定理的逆定理的應用．