Question

如圖，將一塊含30°角的學生用三角板放在平面直角坐標系中，使頂點A、B分別放置在y軸、x軸上，已知AB=2，∠ABO=∠ACB=30°．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）求過A，B，C三點的拋物線解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？若不存在，請說明理由；若存在，請你求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，∠ABO=30°，AB=2，
則OA=1，OB=，
∴點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（，0），
在Rt△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，
則BC=ABcot∠ACB=2，
過點C作CD⊥x軸于點D，如圖所示：

在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=2，
則BD=BCsin∠BCD=，CD=BD=3，
故點C的坐標為（2，3）．
綜上可得點A（0，1），點B（，0），點C（2，3）．

（2）設y=ax²+bx+1，
將B（，0），C（2，3）代入可得：，
解得：，
故拋物線解析式為：y=x²-x+1．
（3）①當點P與點C重合時，很明顯△PAB的面積等于△ABC，此時點P的坐標為（2，3）．

②點P與點C不重合時，設直線AB解析式為y=kx+1，
將B（，0）代入可得：k+1=0，
解得：k=-，
∴y=-x+1，
過點C作直線AB的平行線，則與拋物線交點為點P的位置，

設直線CP的解析式為y=-x+m，
將C（2，3）代入可得：3=-×2+m，
解得：m=5，
∴直線CP的解析式為y=-x+5，
聯立拋物線與直線CP的解析式：，
解得：，，
故此時點P的坐標為（-，6）．
綜上可得點P的坐標為（2，3）或（-，6）．
分析：（1）在Rt△AOB中，可求出OA、OB，繼而得出A、B的坐標，過點C作CD⊥x軸于點D，在Rt△BCD中求出BD，CD即可得出點C的坐標；
（2）利用待定系數法可求出過A，B，C三點的拋物線解析式；
（3）分兩種情況討論，①點P與點C重合，②點P與點C不重合，求出直線AB的解析式，過點C作直線AB的平行線，則與拋物線的交點即是符合題意的點P的位置．
點評：本題考查了二次函數綜合題，前兩問的求解比較簡單，難點在第三問，解答本題的關鍵是根據平行線之間的距離相等找到點P的位置，另外不要忘記考慮點P與點C重合的情況造成漏解．