Question

如圖，將一塊含30°角的學生用三角板放在平面直角坐標系中，使頂點A、B分別放置在y軸、x軸上，已知AB=2，∠ABO=∠ACB=30°．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）求過A，B，C三點的拋物線解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？若不存在，請說明理由；若存在，請你求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，可求出OA、OB，繼而得出A、B的坐標，過點C作CD⊥x軸于點D，在Rt△BCD中求出BD，CD即可得出點C的坐標；
（2）利用待定系數法可求出過A，B，C三點的拋物線解析式；
（3）分兩種情況討論，①點P與點C重合，②點P與點C不重合，求出直線AB的解析式，過點C作直線AB的平行線，則與拋物線的交點即是符合題意的點P的位置．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∠ABO=30°，AB=2，
則OA=1，OB=

3

，
∴點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（

3

，0），
在Rt△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，
則BC=ABcot∠ACB=2

3

，
過點C作CD⊥x軸于點D，如圖所示：

在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=2

3

，
則BD=BCsin∠BCD=

3

，CD=

3

BD=3，
故點C的坐標為（2

3

，3）．
綜上可得點A（0，1），點B（

3

，0），點C（2

3

，3）．

（2）設y=ax²+bx+1，
將B（

3

，0），C（2

3

，3）代入可得：

3a+ 3 b+1=0 12a+2 3 b+1=3

，
解得：

a= 2 3 b=- 3

，
故拋物線解析式為：y=

2

3

x²-

3

x+1．
（3）①當點P與點C重合時，很明顯△PAB的面積等于△ABC，此時點P的坐標為（2

3

，3）．

②點P與點C不重合時，設直線AB解析式為y=kx+1，
將B（

3

，0）代入可得：

3

k+1=0，
解得：k=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+1，
過點C作直線AB的平行線，則與拋物線交點為點P的位置，

設直線CP的解析式為y=-

3

3

x+m，
將C（2

3

，3）代入可得：3=-

3

3

×2

3

+m，
解得：m=5，
∴直線CP的解析式為y=-

3

3

x+5，
聯立拋物線與直線CP的解析式：

y=- 3 3 x+5 y= 2 3 x2- 3 x+1

，
解得：

x1=2 3 y1=3

，

x2=- 3 y2=6

，
故此時點P的坐標為（-

3

，6）．
綜上可得點P的坐標為（2

3

，3）或（-

3

，6）．

點評：本題考查了二次函數綜合題，前兩問的求解比較簡單，難點在第三問，解答本題的關鍵是根據平行線之間的距離相等找到點P的位置，另外不要忘記考慮點P與點C重合的情況造成漏解．