Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D為BC邊上的點，將DA繞D點逆時針旋轉120°得到DE．

（1）如圖1，若AD＝DC，則BE的長為　 　，BE2+CD2與AD2的數量關系為　 　；

（2）如圖2，點D為BC邊山任意一點，線段BE、CD、AD是否依然滿足（1）中的關系，試證明；

（3）M為線段BC上的點，BM＝1，經過B、E、D三點的圓最小時，記D點為D1，當D點從D1處運動到M處時，E點經過的路徑長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；BE2+CD2＝4AD2；（2）能滿足（1）中的結論，見解析；（3）2

【解析】

（1）依據旋轉性質可得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°，再證明：△BDE≌△BDA，利用勾股定理可得結論；

（2）將△ACD繞點A順時針旋轉120°得到△ABD′，再證明：∠D′BE＝∠D′AE＝90°，利用勾股定理即可證明結論仍然成立；

（3）從（2）中發現：∠CBE＝30°，即：點D運動路徑是線段；分別求出點D位于D1時和點D運動到M時，對應的BE長度即可得到結論．

解：（1）如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∵AD＝DC

∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADB＝∠CAD+∠ACB＝60°，

∴∠BAD＝90°，

由旋轉得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°

∴△BDE≌△BDA（SAS）

∴∠BED＝∠BAD＝90°，BE＝AB＝

∴BE2+CD2＝BE2+DE2＝BD2

∵＝cos∠ADB＝cos60°＝

∴BD＝2AD

∴BE2+CD2＝4AD2；

故答案為：；BE2+CD2＝4AD2；

（2）能滿足（1）中的結論．如圖2，將△ACD繞點A順時針旋轉120°得到△ABD′，使AC與AB重合，

∵∠DAD′＝120°，∠BAD′＝∠CAD，∠ABD′＝∠ACB＝30°，AD′＝AD＝DE，∠DAE＝∠AED＝30°，BD′＝CD，∠AD′B＝∠ADC

∴∠D′AE＝90°

∵∠ADB+∠ADC＝180°

∴∠ADB+∠AD′B＝180°

∴A、D、B、D′四點共圓，

同理可證：A、B、E、D四點共圓，A、E、B、D′四點共圓；

∴∠D′BE＝90°

∴BE2+BD′2＝D′E2

∵在△AD′E中，∠AED′＝30°，∠EAD′＝90°

∴D′E＝2AD′＝2AD

∴BE2+BD′2＝（2AD）2＝4AD2

∴BE2+CD2＝4AD2．

（3）由（2）知：經過B、E、D三點的圓必定經過D′、A，且該圓以D′E為直徑，

該圓最小即D′E最小，∵D′E＝2AD

∴當AD最小時，經過B、E、D三點的圓最小，此時，AD⊥BC

如圖3，過A作AD1⊥BC于D1，∵∠ABC＝30°

∴BD1＝ABcos∠ABC＝cos30°＝3，AD1＝

∴D1M＝BD1﹣BM＝3﹣1＝2

由（2）知：在D運動過程中，∠CBE＝30°，∴點D運動路徑是線段；

當點D位于D1時，由（2）中結論得：，∴BE1＝

當點D運動到M時，易求得：BE2＝

∴E點經過的路徑長＝BE1+BE2＝2

故答案為：2．