Question

【題目】已知拋物線G：有最低點。

（1）求二次函數的最小值（用含m的式子表示）；

（2）將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線G1。經過探究發現，隨著m的變化，拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）記（2）所求的函數為H，拋物線G與函數H的圖像交于點P，結合圖像，求點P的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）二次函數的最小值是；（2）；（3）－4－3.

【解析】

（1）拋物線有最低點即開口向上，m＞0，用配方法或公式法求得對稱軸和函數最小值．

（2）寫出拋物線G的頂點式，根據平移規律即得到拋物線G1的頂點式，進而得到拋物線G1頂點坐標（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y與x的函數關系式．再由m＞0，即求得x的取值范圍．

（3）求出拋物線恒過點B（2，-4），函數H圖象恒過點A（2，-3），由圖象可知兩圖象交點P應在點A、B之間，即點P縱坐標在A、B縱坐標之間．

解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，拋物線有最低點，

∴二次函數y=mx2-2mx-3的最小值為-m-3.

（2）∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3,

∴平移后的拋物線G1：y=m（x-1-m）2-m-3,

∴拋物線G1頂點坐標為（m+1，-m-3）,

∴x=m+1，y=-m-3,

∴x+y=m+1-m-3=-2.

即x+y=-2，變形得y=-x-2.

∵m＞0，m=x-1.

∴x-1＞0,

∴x＞1,

∴y與x的函數關系式為y=-x-2（x＞1）.

（3）如圖，函數H：y=-x-2（x＞1）圖象為射線,

x=1時，y=-1-2=-3；x=2時，y=-2-2=-4,

∴函數H的圖象恒過點B（2，-4）,

∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3,

x=1時，y=-m-3；x=2時，y=m-m-3=-3.

∴拋物線G恒過點A（2，-3）,

由圖象可知，若拋物線與函數H的圖象有交點P，則yB＜yP＜yA,

∴點P縱坐標的取值范圍為-4＜yP＜-3.