Question

【題目】如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：

(1)在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數有 個；

(3)在圖2中，若∠B＝70°，∠C＝84°，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結論，試求∠P的度數；

(4)在圖3中，如果∠B和∠C為任意角，并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的四等分線，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BDO，那么∠P與∠C、∠B之間存在的數量關系是 （直接寫出結論即可）．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠C=∠D+∠B；（2）6；（3）77°；（4）

【解析】

（1）根據三角形的內角和即可得到結論；
（2）以線段AC為邊的“8字型”有3個，以點O為交點的“8字型”有4個；
（3）根據角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據三角形內角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠B＝70°，∠C＝84°代入計算即可；

（4）同（3）的步驟可求出∠P與∠C、∠B之間存在的數量關系.

（1）∠A+∠C=∠D+∠B，

∵∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠BOD=180°,

∠AOC=∠BOD,

∴∠A+∠C=∠D+∠B；

（2）交點有點M、N各有1個，交點O有4個，所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，

∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，

∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠C-∠P=∠P-∠B，

即∠P=（∠C+∠B），

∵∠C=84°，∠B=70°

∴∠P=（∠C+∠B）=（84°+70°）=77°.

(4) ∵∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BDO，

∴∠PAC＝∠CAO， ∠ODP＝∠BDO，

∵∠CAP+∠C=∠ODP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，

∴∠CAO +∠C=∠BDO +∠P，∠CAO +∠P=∠BDO +∠B，

∴∠CAO +3∠P=∠BDO +3∠B，

∴∠C-3∠P=∠P-3∠B，

∴ .