Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E是BC上一點，直線AE交BD于點M，交DC的延長線于點F，G是EF的中點，連接CG.求證：

(1)△ABM≌△CBM；

(2)CG⊥CM.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)利用正方形的性質得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，進而利用SAS得出答案；

(2)直接利用全等三角形的性質得出∠BAM=∠BCM，進而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF進而求出答案．

證明:(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，

在△ABM和△CBM中，

∴△ABM≌△CBM(SAS)，

(2)∵△ABM≌△CBM，

∴∠BAM＝∠BCM，

∵∠ECF＝90°，G是EF的中點，

∴GC＝GF，

∴∠GCF＝∠F，

又∵AB∥DF，

∴∠BAM＝∠F，

∴∠BCM＝∠GCF，

∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°，

∴GC⊥CM.