Question

如圖，在直角坐標系中，A（-1，0），B（0，2），一動點P沿過B點且垂直于AB的射線BM運動，P點的運動速度為每秒1個單位長度，射線BM與x軸交于點C．
（1）求點C的坐標．
（2）求過點A、B、C三點的拋物線的解析式．
（3）若P點開始運動時，Q點也同時從C點出發，以P點相同的速度沿x軸負方向向點A運動，t秒后，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形．（點P到點C時停止運動，點Q也同時停止運動），求t的值．
（4）在（2）（3）的條件下，當CQ=CP時，求直線OP與拋物線的交點坐標．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）設拋物線方程為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2

5

；
則：BP=t，CP=2

5

-t，CQ=t；
①CP=CQ，則有：2

5

-t=t，
解得：t=

5

；
②CQ=QP，過Q作QM′⊥BC于M′，則有：
CM′=

1

2

（2

5

-t）；
易證△CQM′∽△CBO，
則：

CQ

CB

=

CM′

OC

，
即

t

2 5

=

1 2 (2 5 -t)

4

，
解得：t=

10

4+ 5

=

40-10 5

11

；
③CP=PQ，過P作PN⊥OC于N，則：
CN=

1

2

CQ=

1

2

t；
易證△CNP∽△COB，則有：

CN

OC

=

CP

CB

，
即

1 2 t

4

=

2 5 -t

2 5

，
解得t=

8 5

4+ 5

=

32 5 -40

11

；
綜上所述，當t=

5

或

40-10 5

11

或

32 5 -40

11

時，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：當CP=CQ時，BP=t=

5

=

1

2

BC，即P是BC的中點，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直線OP的解析式為：y=

1

2

x；
聯立拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y= 1 2 x

，
解得

x=1+ 5 y= 1+ 5 2

，

x=1- 5 y= 1- 5 2

；
∴直線OP與拋物線的交點為（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

）．