Question

【題目】中，，為高線，點在邊上，且，連接，，與邊相交于點．

（1）如圖1，當時，求證：

（2）如圖2，當時，則線段、的數量關系為 ；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將繞點順時針旋轉，旋轉后邊所在的直線與邊相交于點，邊所在的直線與邊相交于點，與高線相交于點，若，且，求線段H的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，；（3）2

【解析】

（1）根據tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC為等腰直角三角形，再過E點作EK⊥BC，EK與CD相交于點K，得出∠GKE=45°=∠B，再根據∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，從而證出，即可得出EF=2EG；

（2）根據（1）的證明過程，同理可證出當tan∠BAC=2時，得出EF=EG；

（3）根據（2）的結論，先設AC=3k，得出BC＝6k，EC＝EC＝2k，再過點E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點M，得出△AGC∽△EGM，得出，再過點G作GN∥EH，與AH相交于點N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可證EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可證出的值，再根據HG′∥NG，同理可證，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，從而得出G′H的值．

（1）證明：在中， ，

，

，

．

為等腰直角三角形，

，

，

過點作，與相交于點，

，

，

，

，

，

；

（2）根據（1）的證明，同理可證：

當時，；

（3）在中， ，，

則，

設，則BC＝6k，則，

過點作，與的延長線相交于點， ，

．

在與中，

，

,，

，

過點作，與相交于點，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

同理可證, ，

，

，

．

，同理可證，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，，

在中，過點作，垂足是，

設，則HW＝x，則，

，，

，

，

．