Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點，點D是弧BC中點，過點D作⊙O切線DF，連接AC并延長交DF于點E．

（1）求證：AE⊥EF；

（2）若圓的半徑為5，BD＝6 求AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AE＝6.4．

【解析】

(1)連接OD，利用切線的性質和三角形的內角和證明OD∥EA，即可證得結論；

(2)利用相似三角形的判定和性質解答即可．

(1)連接OD，

∵EF是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵點D是弧BC中點，

∴∠EAD=∠OAD，

∴∠EAD=∠ODA，

∴OD∥EA，

∴AE⊥EF；

(2)∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵圓的半徑為5，BD=6

∴AB=10，BD=6，

在Rt△ADB中，，

∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，

∴△AED∽△ADB，

∴，

即，

解得：AE=6.4．