Question

【題目】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為點E，AF⊥CD，垂足為點F．

（1）如果AB=AD，求證：EF∥BD

（2）如果EF∥BD，求證：AB=AD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）直接利用平行四邊形的性質結合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），進而求出答案；
（2）利用平行線分線段成比例定理結合相似三角形的判定與性質得出△ABE∽△ADF，進而求出答案．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABE=∠ADF，BC=AD，AB=CD，

∵AB=AD，

∴BC=AD=AB=CD，

∵AEBC，AFCD，

∴∠AEB=∠AFD=90，

∵AB=AD，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴BE=DF，

∴，

∴，

∴EF∥BD．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABE=∠ADF，

∵AEBC，AFCD，

∴∠AEB=∠AFD=90，

∴△ABE∽△ADF，

∴，

∵EF∥BD，

∴，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴，

∴，

∴，即，

∴AB=AD．