Question

【題目】（發現）如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，連接EF．因為AB=AD，所以把ΔABE繞A逆時針旋轉90°至ΔADG，可使AB與AD重合．因為∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共線．

如果__________（填一個條件），可得ΔAEF≌ΔAGF．經過進一步研究我們可以發現：當BE，EF，FD滿足__________時，∠EAF=45°．

（應用）

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，點E在邊BC上，且BE=2．

（1）若m=8，點F在邊DC上，且∠EAF=45°（如圖），求DF的長；

（2）若點F在邊DC上，且∠EAF=45°，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】發現：（或）（答案不唯一），；應用：（1）；（2）

【解析】

[發現]由旋轉的性質及全等三角形的判定與性質即可得出結論；

[應用]（1）作正方形ABNM，MN與AF相交于點G，連接EG．設MG=x，則NG=6-x，由[發現]可得：BE+MG=EG，即2+x=EG．在Rt△ENG中，由勾股定理可得x的值，即MG的長，由相似三角形的性質得到AM：AD=MG：DF，即可得出結論；

（2）當C和E重合時，如圖3，m=AD=BC=2最小；

當C和F重合時，如圖4，m=AD最大．類似（1）可得m的值．

[發現]∠EAF=∠GAF（或EF=FG）如圖1所示：

∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，∴∠DAG=∠BAE，AE=AG．

若添加條件為：∠EAF=∠GAF．

∵AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，∴ΔAEF≌ΔAGF．

若添加條件為：EF=FG．

∵AE=AG，EF=FG，AF=AF，∴ΔAEF≌ΔAGF．

當BE+FD=EF時，∠EAF=45°．證明如下：

由旋轉的性質可知：∠EAG=90°，△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG．

∵BE+FD=EF，∴DG+FD=EF，∴FG=EF．

∵AE=AG，AF=AF，∴ΔAEF≌ΔAGF，∴∠EAF=∠FAG=45°．

[應用]（1）作正方形ABNM，MN與AF相交于點G，連接EG．設MG=x，則NG=6-x．

∵BE=2，∴EN=6-2=4．由[發現]可得：BE+MG=EG，∴2+x=EG．在Rt△ENG中，∵EN2+NG2=EG2，∴ ，解得：x=3，∴MG=3．

∵MN∥DC，∴△AMG∽△ADF，∴AM：AD=MG：DF，∴6：8=3：DF，解得：DF=4．

（2）當C和E重合時，如圖3，m=AD=BC=2最小；

當C和F重合時，如圖4，m=AD最大．類似（1）可得：MG=3．

∵MN∥DC，∴△AMG∽△ADC，∴AM：MG=AD：DC，∴6：3=m：6，解得：m=12．

綜上所述：2≤m≤12．