Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC上一點，過點E作對角線AC的平行線，交AB于F，交DA和DC的延長線于點G，H．

(1)求證：△AFG≌△CHE；

(2)若∠G＝∠BAC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD是正方形，理由見解析

【解析】

(1)根據SAS可以證明兩三角形全等；

(2)先根據平行線的性質和已知可得∠BAC＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以AB＝BC，可得結論．

證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90°

∴∠GAB＝∠B＝∠BCH，

∵AD∥BC，EF∥AC，

∴四邊形AGEC是平行四邊形，

∴AG＝EC，

∵AB∥CD，EF∥AC

∴四邊形AFHC是平行四邊形，

∴AF＝CH，

∴△AFG≌△CHE(SAS)．

(2)四邊形ABCD是正方形

理由：∵EF∥AC，

∴∠G＝∠CAD，

∵∠G＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠CAD，

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∵∠B＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∴BA＝BC，

∴矩形ABCD是正方形．