Question

【題目】在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝7，點D是BC上一動點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，線段EF的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．連接AD，OE，OF．設AM＝x，則BM＝5﹣x．根據，可得，解得x＝4，推出∠EAF＝60°，由A，E，D，F四點共圓，推出當⊙O的直徑最小時，EF的長最小，根據垂線段最短可知：當AD與AN重合時，AD的值最小，由此即可解決問題．

解：如圖，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．連接AD，OE，OF．設AM＝x，則BM＝5﹣x．

∵CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2，

∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，

解得x＝4，

∴AM＝4，AC＝2AM，

∴∠ACM＝30°，∠CAM＝60°，CM＝AM＝4，

∵S△ABC＝BCAN＝ABCM，

∴AN＝，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED＝∠AFD＝90°，

∴A，E，D，F四點共圓，

∴當⊙O的直徑最小時，EF的長最小，

根據垂線段最短可知：當AD與AN重合時，AD的值最小，AD的最小值為，

此時OE＝OF＝，EF＝2OEcos30°＝，

∴EF的最小值為，

故答案為.