Question

【題目】已知如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，

（1）點F在邊BC上，且 BF=3，若點P從點A出發，以每秒1cm的速度沿A→D→C→F運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△AFP為等腰三角形？

（2）如圖2，將長方形ABCD折疊，折痕為MN，點A的對應點A′落在線段BC上，當點A′ 在BC上移動時，點M、N也隨之移動，若限定點M、N分別在線段AB、AD上移動，則點A′ 在線段BC上可移動的最大距離是___________．

Answer 1

【答案】（1）5s，6s，8s，s；（2）( -3)cm；

【解析】

（1）利用輔助圓確定點P的位置，再利用等腰三角形的性質判定定理分別確定點P的運動路程，即可得到運動時間；

（2）利用M,N的運動位置確定A′的最大運動位置即可；

解：(1)①如圖，以A為圓心，AF長為半徑畫圓，交AD于 ,則AF=A

在Rt△ABF中，AB=4cm,BF=3cm,

∴AF= =5cm;

∴AP1=AF=5cm;

∴t1=5s;

∴當t1=5s時，

②如圖，以F為圓心，AF長為半徑畫圓，交AD于 ,則FA=F,交DC于 ，則FA=F

∵BF=3cm， AB=4cm,

∴FA= =5cm;

∴FP2=FP3=FA=5cm,

作FG⊥AD于G，則AP2=2AG=2BF=6cm，

∴t2=6s;

又∵BC=7cm,

∴FC=7-3=4cm,

∴CP3= =3cm,

∴DP3=1cm，

∴AD+DP3=8cm,

∴t3=8s;

③作AF的垂直平分線，交AD于 ，交AF于Ｈ，連接F

∵ABCD為矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AFB，

又∠AHP4=∠B=90°，

∴△AHP4∽△ABF,

,

∴AP4=,

∴t4=s;

綜上，當t=5s，6s，8s，s時，△AFP為等腰三角形。

（2）如圖, 當點M與點D重合時，

根據翻折對稱性可得：DA′=DA=7cm，

在Rt△A′CD中，

A′C= =cm,

如圖，當點N與點B重合時，

根據翻折對稱性可得BA′=AB=4cm．
∵A′C=CB-BA′，
∴A′C=3cm．
∴點A′在BC邊上可移動的最大距離為( -3)cm．