Question

如圖，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=

3

10

．D為射線BA上的點（點D不與點B重合），作DE∥BC交射線CA于點E．
（1）若CE=x，BD=y，求y與x的函數關系式，并寫出函數的定義域；
（2）當分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時，求DE的長度；
（3）當點D在AB邊上時，BC邊上是否存在點F，使△ABC與△DEF相似？若存在，請求出線段BF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可利用DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理，來求出x、y的函數關系式．
（2）本題要分兩種情況：
①兩圓外切，根據∠A的余弦值，如果過B作AC的垂線，不難得出△ABC為等腰三角形，因此AB=BC=5（也可用余弦定理求出BC的長）．
那么△ADE也應該是等腰三角形，即AD=DE=5-y．
由于兩圓外切，設以BD為直徑的圓為⊙O₁，以CE為直徑的圓為⊙O₂，那么O₁O₂就是梯形DECB的中位線，根據DE、BC的長即兩圓的半徑即可求出DE的長．
②兩圓內切，此種情況又要分兩種情況來求：
一：⊙O₂內切于⊙O₁，那么O₁O₂是兩圓的半徑差，可根據相似三角形ADE和AO₁O₂來求出DE的長．
二：⊙O₁內切于⊙O₂，同一．
（3）本題也要分三種情況：
①當∠ADE=∠FDE時，由于DE∥BC，那么∠ADE=∠FDE=∠DFB=∠B，即AD=DF=DE=DB，如果連接AF，那么DE必垂直平分AF，因此AF⊥CB，在直角三角形AFC中，由（2）知：∠A=∠C，因此根據AC的長和∠C的余弦值即可求出FC的長進而可求出BF的長．
②當∠DEF=∠B時，此時∠ADE=∠B=∠DEF，因此AB∥EF，四邊形BDEF為平行四邊形．因此△ADE≌△BDF，因此BF=BD=

1

2

AB，由此可求出BF的長．
③當∠DFE=∠B時，可根據相似三角形對應的腰和底成比例求出BF的長．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，
∴

5-y

y

=

3-x

x

，
∴y=

5

3

x（x＞0且x≠3）．
（2）作BH⊥AC，垂足為點H．
∵cosA=

3

10

，AB=5，
∴AH=

3

2

=

1

2

AC，
∴BH垂直平分AC．
∴△ABC為等腰三角形，AB=CB=5．
①當點D在BA邊上時（兩圓外切），如圖（1）
易知：O₁O₂∥BC，∴O₁O₂=AO₁，
即

x

2

+

y

2

=5-

y

2

．
∵y=

5

3

x，
∴x=

30

13

．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=5-y，
∴DE=-

5

3

x+5．
∴DE=-

5

3

×

30

13

+5=

15

13

；
②當點D在BA延長線上時（兩圓內切），如圖（2）、（3），
易知O₁O₂∥BC，且O₁O₂=AO₁，
（ⅰ）如圖（2），
∵O₁O₂=AO₁，
即

y

2

-

x

2

=5-

y

2

．
∵y=

5

3

x，
∴x=

30

7

．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=y-5，
∴DE=

5

3

x-5．
∴DE=

5

3

×

30

7

-5=

15

7

．
（ⅱ）如圖（3），
∵O₁O₂=AO₂，
即

y

2

-

x

2

=

y

2

-5，
∴x=10．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=y-5，
∴DE=

5

3

x-5．
∴DE=

5

3

×10-5=

35

3

．

（3）①當∠EDF=∠B時，
易得：AD=DE=DF=DB，
∴AF⊥BC，
由cosA=cosC=

3

10

，AC=3，
∴FC=

9

10

，∴BF=

41

10

．
②當∠DEF=∠B時，如圖（5）
易得：△DBF≌△EFC，
∴BF=

5

2

．
③當∠DFE=∠B時，如圖（6）
∴

AE

AC

=

DE

BC

，
∵AB=5，BC=5，AC=3，
設DE=3k，DF=EF=5k，
∴

3-5k

3

=

3k

5

，
∴k=

15

34

，
∴BF=5-3k=

125

34

．
綜上所述：BF的長為：BF=

41

10

，

5

2

，

125

34

．

點評：本題考查了等腰三角形的判定和性質、圓與圓的位置關系、相似三角形的判定和性質等知識．