Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．

求證：△CDA≌△BEC．

（模型運(yùn)用）

（2）如圖2，直線l1：y＝x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線l2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式．

（模型遷移）

如圖3，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸正半軸的夾角為30°，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP，過點(diǎn)B的直線BC交x軸于點(diǎn)C，∠OCB＝30°，點(diǎn)B到x軸的距離為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）

【解析】

（1）由“AAS”可證△CDA≌△BEC；

（2）如圖2，在l2上取D點(diǎn)，使AD＝AB，過D點(diǎn)作DE⊥OA，垂足為E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求點(diǎn)D坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求解析式；

（3）分兩種情況討論，通過證明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠D＝∠E＝90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

又CA＝BC，∠D＝∠E＝90°

∴△CDA≌△BEC（AAS）

（2）如圖2，在l2上取D點(diǎn)，使AD＝AB，過D點(diǎn)作DE⊥OA，垂足為E

∵直線y＝x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，

∴A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，

由（1）得△BOA≌△AED，

∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，

∴OE＝7，

∴D（﹣7，3）

設(shè)l2的解析式為y＝kx+b，

得

解得

∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為：

（3）若點(diǎn)P在x軸正半軸，如圖3，過點(diǎn)B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，

∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴點(diǎn)P（4，0）

若點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，如圖4，過點(diǎn)B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，

∴∠APE＝∠PBC，

∵∠AOE＝∠BCO＝30°，

∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴點(diǎn)P（﹣4，0）

綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）