Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，BE=4，EC=8，將正方形邊AB延AE折疊刀AF，延長EF交DC于G，連接AG，現在有如下結論：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中結論正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

選項①正確．證明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．選項②錯誤．可以證明DG=GC=FG，顯然△GFC不是等邊三角形，可得結論．選項③正確．證明CF⊥DF，AG⊥DF即可．選項④正確．證明FG：EG=3：5，求出△ECG的面積即可．

解：如圖，連接DF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，

由折疊可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，

∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，

∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），

∴∠GAF=∠GAD，

∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正確，

設GD=GF=x，

在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，

∴(4+x)2=82+(12-x)2，

∴x=6，

∵CD=BC=BE+EC=12，

∴DG=CG=6，

∴FG=GC，

易知△GFC不是等邊三角形，顯然FG≠FC，故②錯誤，

∵GF=GD=GC，

∴∠DFC=90°，

∴CF⊥DF，

∵AD=AF，GD=GF，

∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正確，

∵S△ECG=×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，

∴FG：EG=3：5，

∴S△GFC=×24==14.4，故④正確，

故①③④正確，

故選：C．