Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是_______，證明你的結論．

（2）連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足____條件時，四邊形EFGH是矩形；（只需要寫結論，不需證明）

（3）連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足______條件時，四邊形EFGH是菱形．（只需要寫結論，不需證明）

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見詳解；（2）AC⊥BD；（3）AC=BD．

【解析】

（1）連結BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，從而得到EH∥FG，EH=FG，即可得證四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行分析即可；

（3）根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行分析即可．

解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，
如圖，連結BD，

∵E、H分別是AB、AD中點，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

（2）當AC與BD滿足AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形，
如圖，連結AC、BD，

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，
若AC⊥BD，
則EH⊥HG，即∠EHG為直角，
又由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形，

故答案為：AC⊥BD；

（3）當AC與BD滿足AC=BD時，四邊形EFGH是菱形，

∵E，F，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴HG=AC， EH=BD，

若AC=BD，則HG=EH，
又由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH為菱形，

故答案為你：AC=BD．