Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進而證明DE是⊙O的切線；（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．

試題解析：（1）連接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，

∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑， ∴CD是圓O的切線；

（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，

∴CD===4， ∴S△OCD===8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=， ∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S陰影=8﹣，

∴陰影部分的面積為8﹣．