Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點(不與B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα=，下列結論：

①△ADE∽△ACD；

②當BD=6時，△ABD與△DCE全等；

③當△DCE為直角三角形時，BD為8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正確的結論是(　　)

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先證明∠B=∠C，從而可得出∠ADE=∠C，又∠DAE=∠CAD可得出結論；②作AG⊥BC于G，先求出BG的長，從而可得出BC的長，再得出DC=10=AB，可由ASA證明△ABD≌△DCE；③分兩種情況：當∠AED=90°時，由①知△ADE∽△ACD，從而有∠ADC=∠AED=90°，則有BD=CD，最后∠ADE=∠B=α且cosα=可得出BD的長；當∠CDE=90°時，易△CDE∽△BAD，則∠CDE=90°=∠BAD，最后根據cosα=cosB=可得出結果；④先證明△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，設BD=y，CE=x，得，即，然后可得出y與x之間的關系式為(y﹣8)2=64﹣10x，從而可得出結果．

解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C，又∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，故①正確；

②作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∴BC=2BG，又∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BG=ABcosα=8，∴BC=2BG==16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，又∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，又∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠CDE，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE(ASA)，故②正確；

③當∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8；當∠CDE=90°時，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=，AB=10，∴cosB=，∴BD=，故③正確；

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，設BD=y，CE=x，∴，∴，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即(y﹣8)2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，故④正確；

故選：D．