Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠OAC＝58°．

（Ⅰ）如圖①，過點C作⊙O的切線，與BA的延長線交于點P，求∠P的大小；

（Ⅱ）如圖②，P為AB上一點，CP延長線與⊙O交于點Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．

Answer 1

【答案】（I）∠P＝26°；（II）∠APC＝48°．

【解析】

（I）根據等腰三角形中有一底角為58度時，可得∠COA＝64°，根據切線的性質得出∠OCP＝90°，進而求得∠P的度數；
（II）先由（I）知∠AOC＝64°，根據圓周角定理得∠Q＝∠AOC＝32°，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得∠QAC＝∠QCA＝74°，最后由三角形外角的性質可得結論．

（I）如圖①，

∵OA＝OC，∠OAC＝58°，

∴∠OCA＝58°

∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCP＝90°，

∴∠P＝90°﹣64°＝26°；

（II）∵∠AOC＝64°，

∴∠Q＝∠AOC＝32°，

∵AQ＝CQ，

∴∠QAC＝∠QCA＝74°，

∵∠OCA＝58°，

∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，

∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，

∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．