Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，過D作DE⊥BD交AB于點E，經過B，D，E三點作⊙O．

（1）求證：AC與⊙O相切于D點；

（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，則有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出結論．

（2）根據OD⊥AD，則在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，設半徑為r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．

（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵OD=OB，

∴∠1=∠2，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OD∥BC，

而∠C=90°，

∴OD⊥AD，

∴AC與⊙O相切于D點；

（2）解：∵OD⊥AD，

∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，

又∵AD=15，AE=9，設半徑為r，

∴（r+9）2=152+r2，

解方程得，r=8，

即⊙O的半徑為8．