Question

【題目】已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC．設AB=x，請解答：（1）x的取值范圍______；

（2）若△ABC是直角三角形，則x的值是______．

Answer 1

【答案】1＜x＜2 x或x．

【解析】

（1）因為所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三邊之間的關系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進行解答．

（2）應該分情況討論，因為不知道在三角形中哪一個是作為斜邊存在的．所以有三種情況，即：①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，無解；②若AB為斜邊，則x2=(3﹣x)2+1，解得x，滿足1<x<2；③若BC為斜邊，則(3﹣x)2=1+x2，解得：x，滿足1＜x＜2；

解：

（1）∵MN=4，MA=1，AB=x，

∴BN=4﹣1﹣x=3﹣x，

由旋轉的性質得：MA=AC=1，BN=BC=3﹣x，

由三角形的三邊關系得

，

∴x的取值范圍是1＜x＜2．

故答案為：1＜x＜2；

（2）∵△ABC是直角三角形，

∴若AC為斜邊，則1=x2+(3﹣x)2，即x2﹣3x+4=0，無解，

若AB為斜邊，則x2=(3﹣x)2+1，解得：x，滿足1＜x＜2，

若BC為斜邊，則(3﹣x)2=1+x2，解得：x，滿足1＜x＜2，

故x的值為：x或x．

故答案為：x或x．