Question

【題目】如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于．

（1）若，則的度數(shù)是 ；

（2）連接，若，的周長(zhǎng)是．

①求的長(zhǎng)；

②在直線上是否存在點(diǎn)，使由，，構(gòu)成的的周長(zhǎng)值最小？若存在，標(biāo)出點(diǎn)的位置并求的周長(zhǎng)最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）50° （2）① 6cm；②存在點(diǎn)P，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，△PBC周長(zhǎng)的最小值為

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠NMA＝50°;

（2）①根據(jù)線段垂直平分線可得AM＝BM，根據(jù)△MBC的周長(zhǎng)＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；

②根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)可知，M點(diǎn)就是點(diǎn)P所在的位置，△PBC的周長(zhǎng)最小值就是△MBC的周長(zhǎng)．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠A＝180°－70°－70°＝40°

∵MN垂直平分AB交AB于N

∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，

在△AMN中，

∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；

（2）①如圖所示，連接MB，

∵MN垂直平分AB交于AB于N

∴AM＝BM，

∴△MBC的周長(zhǎng)＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝

又∵AB＝AC＝8cm，

∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；

②如圖所示，

∵MN垂直平分AB，

∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN對(duì)稱，AC與MN交于點(diǎn)M，因此點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；

∴△MBC的周長(zhǎng)就是△PBC周長(zhǎng)的最小值，

∴△PBC周長(zhǎng)的最小值＝△MBC的周長(zhǎng)＝．