Question

【題目】如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA、CB于點E、F，點G是AD的中點．

（1）求證：GE是⊙O的切線；

（2）當△ADC滿足怎樣的條件時，四邊形EGDO恰為正方形？（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當△ADC滿足∠A=45°時，四邊形EGDO恰為正方形．

【解析】

（1）連接OE、DE，如圖，利用圓周角定理得到∠CED=90°，再根據斜邊上的中線性質得GE=GA=GD，則∠GED=∠GDE，加上∠OED=∠ODE，所以∠GEO=90°，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）當∠DOE=90°時易得四邊形EGDO正方形，此時△OCE為等腰直角三角形，于是可判斷當△ADC滿足∠A=45°時，四邊形EGDO恰為正方形．

（1）證明：連接OE、DE，如圖，

∵CD為直徑，

∴∠CED=90°，

∵G點AD的中點，

∴GE=GA=GD，

∴∠GED=∠GDE，

而OD=OE，

∴∠OED=∠ODE，

∴∠GEO=∠GDC，

而CD為高，

∴∠GDC=90°，

∴∠GEO=90°，

∴OE⊥GE，

∴GE是⊙O的切線；

（2）當∠DOE=90°時，四邊形EGDO為矩形，而OE=OD，則四邊形EGDO正方形，

此時△OCE為等腰直角三角形，

所以當△ADC滿足∠A=45°時，四邊形EGDO恰為正方形．