Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，AB>CD，AD=AB+CD.

(1)利用尺規作ADC的平分線DE，交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接AE，EF(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，證明：EC=EF；AE⊥DE

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析；證明見解析.

【解析】

（1）根據角平分線畫法作圖即可；（2）①利用條件證得△CDE≌△FDE即可；②先證得Rt△AFE≌Rt△ABE，然后利用等角代換與平行線證明與性質，即可得證

(1)如圖所示；

(2)證明：∵DE評分∠ADC

∴∠1=∠2

∵AD=AB+CD，AF=AB

∴DF=CD

在△CDE和△DEF中

∴△CDE≌△FDE

∴CE=EF

∵△CDE≌△FDE

∴∠C=∠3=90°

∴∠4=90°

∴∠4=∠B=∠ADB

在Rt△AFE和Rt△ABE中

∴Rt△AFE≌Rt△ABE

∴∠5=∠6=∠BAD

∵∠C=∠B=90°

∴∠C+∠B=180°

∴DC∥AB

∴∠BAD+∠ADB=180°

∴∠2+∠5=90°

∴∠DEB=90°

∴AE⊥DE