Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，以B為頂點，作交延長線于點E.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）若，，點P從點E出發，沿方向，以每秒1個單位的速度向終點B運動；點Q從點D出發，沿方向，以每秒2個單位的速度向終點A運動，兩點同時出發，其中一點到達終點后，另一點隨之停止運動.設運動時間為.

①若是等腰三角形，求t的值；

②若，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①t的值為2或0或；②.

【解析】

（1）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定；

（2）①分（ⅰ）當，（ⅱ）當，（ⅲ）當三種情況，列出含t的等式，即可求出t的值；

②根據題意判定可得只有點P在上，點Q在上時，，設PQ與BC的交點為N，證明，得出，從而解得t值.

（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴.

∵，∴.

∴四邊形是平行四邊形.

∵，

∴四邊形是矩形；

（2）解：①∵四邊形是平行四邊形，

∴，.

∵四邊形是矩形，∴.

若是等腰三角形，則有：

（ⅰ）當，此時有，解得；

（ⅱ）當，此時有，解得；

（ⅲ）當時，如解圖①，過點P作于點M，則，

∴.

在中，，

∴.

綜上，若是等腰三角形，t的值為2或0或；

②.

由題意可知，當時，只有點P在上，點Q在上時符合題意，如解圖②所示，設PQ與BC的交點為N，

∵，，，∴.

當時，點Q在上，點P在上，此時，.

∵四邊形是矩形，∴.

當時，有，

∴.

∵，

∴.∴.

∴.∴.∴.