Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CECA．

（1）求證：BC=CD；

（2）分別延長AB，DC交于點P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）⊙O的半徑為4．

【解析】試題分析：(1)、根據題意得出△CAD和△CDE相似，從而得出∠CAD=∠CDE， 結合∠CAD=∠CBD得出∠CDB=∠CBD，從而得出答案；(2)、連接OC，根據OC∥AD得出PC=2CD，根據題意得出△PCB和△PAD相似，即，從而得出r的值.

試題解析：(1)、∵DC2=CECA， ∴=， 而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE，

∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC；

(2)、連結OC，如圖，設⊙O的半徑為r， ∵CD=CB， ∴=， ∴∠BOC=∠BAD，

∴OC∥AD， ∴===2， ∴PC=2CD=4， ∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，

∴△PCB∽△PAD， ∴=，即=， ∴r=4， 即⊙O的半徑為4．