Question

【題目】如圖，O為正方形ABCD對角線的交點，E為AB邊上一點，F為BC邊上一點，△EBF的周長等于BC的長．

（1）若AB=12，BE=3，求EF的長；

（2）求∠EOF的度數；

（3）若OE=OF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）EF =5；（2）∠EOF=45°；（3）．

【解析】

（1）設BF=x，則FC=BC﹣BF=12﹣x，根據BE=3，且BE+BF+EF=BC，表示出

EF，在Rt△BEF中，根據勾股定理即可求出，即可求出EF的長；

（2）如圖，在FC上截取FM=FE，連接OM，分別證明△OBE≌△OCM，△OFE≌△OFM，根據全等三角形的性質即可求出∠EOF的度數；

（3）證明△AOE∽△CFO．根據相似三角形的性質得到

即可求出的值．

（1）設BF=x，則FC=BC﹣BF=12﹣x，

∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，

∴EF=9﹣x，

在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，

解得：x=4，

則EF=9﹣x=5；

（2）如圖，在FC上截取FM=FE，連接OM，

∵C△EBF的周長=BE+EF+BF=BC，則BE+EF+BF=BF+FM+MC，

∴BE=MC，

∵O為正方形中心，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，

在△OBE和△OCM中，

∵

∴△OBE≌△OCM，

∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，

∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，

在△OFE與△OFM中，

∵

∴△OFE≌△OFM（SSS），

∴

（3）證明：由（2）可知：∠EOF=45°，

∴∠AOE+∠FOC=135°，

∵∠EAO=45°，

∴∠AOE+∠AEO=135°，

∴∠FOC=∠AEO，

∵∠EAO=∠OCF=45°，

∴△AOE∽△CFO．

∴

∴

∵AO=CO，

∴

∴