Question

【題目】如圖，已知，梯形中，，，∥，，，點在邊上，以點為圓心為半徑作弧交邊于點，射線與射線交于點.

（1）若，求的長；

（2）聯結，若，求的長；

（3）線段上是否存在點，使得△與△相似，若相似，求的值，若不相似，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）存在，FG＝3－1

【解析】

（1）如圖所示，作DO⊥AB，垂足為O，先求出DO的長，然后根據勾股定理可求出DE的長；（2）如圖作EQ⊥AB，垂足為Q，先根據HL證明Rt△EQP≌Rt△CBP，得到PB＝PQ，設PB＝x，則PQ＝x，AP＝5－x，根據勾股定理列一元二次方程，求解即可；（3）先根據三角形相似求出∠EAB的大小，然后根據特殊角的三角函數求出AD、DE、GD的長，再根據相似三角形對應邊成比例即可求出FG的長.

（1）如圖所示，作DO⊥AB，垂足為O.

∵DC＝3，AB＝5，

∴AO＝2，

又∵∠A＝45°，∴DO＝2，

依題意易知，AE＝AP＝，

根據勾股定理，AE2＝（AO＋DE）2＋DO2，即（2＋DE）2＋4＝13，

解得DE＝﹣5（舍去）或1，

∴DE＝1，

（2）如圖作EQ⊥AB，垂足為Q.

∵CP＝EP，EQ＝CB，∴Rt△EQP≌Rt△CBP，

∴PB＝PQ，

設PB＝x，則PQ＝x，AP＝5－x，

由（1）知CB＝EQ＝2，

又∵AE＝AP＝5－x，

根據勾股定理有AE2＝AQ2＋EQ2，即（5－x）2＝（5－2x）2＋4，

解得x＝或，

∴AP＝（＜AD，舍去）或，

綜上，AP＝.

（3）∵∠F＋∠FPB＝90°，∠EAB＋2∠APE＝180°，∠APE＝∠FPB，

∴∠EAB＝2∠F，

若存在三角形相似，則∠DAE＝∠F，

又∵∠A＝45°，∴∠EAB＝30°，

如圖所示，延長CD，作AH⊥CD，垂足為H，

AH＝DH＝2，EH＝2，

∴DE＝2－2，CE＝5－2，

∵∠EGF＝∠ADE＝135°，

∴∠EGC＝45°，

∴EG＝CE＝5，

∵△ADE∽△FGE，

∴，即，

∴FG＝3－1.