Question

【題目】如圖，已知拋物線過點A(,-3) 和B(3,0)，過點A作直線AC//x軸，交y軸與點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在點Q，使得?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點坐標為（4 ,6）或（,- ）；（3）Q點坐標（3，0）或（-2，15）

【解析】

（1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出解析式；

（2）設P坐標為，表示出AD與PD，由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標；

（3）存在，求出已知三角形AOC邊OA上的高h，過O作OM⊥OA，截取OM=h,與y軸交于點N，分別確定出M與N坐標，利用待定系數法求出直線MN解析式，與拋物線解析式聯立求出Q坐標即可．

（1）把，和點，代入拋物線得：，

解得：，，

則拋物線解析式為；

（2）當在直線上方時，

設坐標為，則有，，

當時，，即，

整理得：，即，

解得：，即或（舍去），

此時，；

當時，，即，

整理得：，即，

解得：，即或（舍去），

此時，；

當點時，也滿足；

當在直線下方時，同理可得：的坐標為，，

綜上，的坐標為，或，或，或；

（3）在中，，，

根據勾股定理得：，

，

，

，

邊上的高為，

過作，截取，過作，交軸于點，如圖所示：

在中，，即，

過作軸，

在中，，，即，，

設直線解析式為，

把坐標代入得：，即，即，

聯立得：，

解得：或，即，或，，

則拋物線上存在點，使得，此時點的坐標為，或，．