Question

【題目】如圖，M為正方形ABCD內一點，點N在AD邊上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．點E為MN的中點，點P為DE的中點，連接MP并延長到點F，使得PF＝PM，連接DF．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：DF＝BM；

（3）連接AM，用等式表示線段PM和AM的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）,證明見解析.

【解析】

（1）圖見詳解,

（2）證明△MPE≌△FPD（SAS）得DF＝ME,由E為MN的中點得MN＝2ME,MN＝2MB,等量代換即可解題,

（3）證明△FAD≌△MAB（SAS）,推出△FAM為等腰直角三角形,即可證明結論.

解：（1）

（2）∵點P為線段DE的中點

∴DP＝EP

在△MPE和△FPD中

∴△MPE≌△FPD（SAS）

∴DF＝ME

∵E為MN的中點

∴MN＝2ME

∵MN＝2MB

∴MB＝ME＝DF，∴DF＝BM

（3）結論：

連接AF

由（2）可知：△MPE≌△FPD

∴∠DFP＝∠EMP.

∴DF∥ME.

∴∠FDN＝∠MND.

在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°

又∵∠BMN＝90°

∴∠MBA＋∠MNA＝180°

又∵∠MNA＋∠MND＝180°

∴∠MBA＝∠MND

∴∠FDN＝∠MBA

在△FAD和△MAB中

∴△FAD≌△MAB（SAS）

∴∠FAD＝∠MAB,FA＝MA

∴∠FAM＝∠DAB＝90°

∴△FAM為等腰直角三角形

∴

又∵FM＝2PM

∴