Question

【題目】設C為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形．以B為圓心，BD長為半徑的⊙B與AB相交于F點，延長EB交⊙B于G點，連接DG交于AB于Q點，連接AD．

求證：（1）AD是⊙B的切線；（2）AD=AQ；（3）BC2=CFEG．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）連接BD，由DC⊥AB，C為AB的中點，由線段垂直平分線的性質，可得AD=BD，再根據正方形的性質，可得∠ADB=90°；
（2）由BD=BG與CD∥BE，利用等邊對等角與平行線的性質，即可求得∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，繼而求得∠ADQ=∠AQD=67.5°，由等角對等邊，可證得AD=AQ；
（3）易求得∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，即可證得Rt△DCF∽Rt△GED，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得結論．

試題解析：

（1）連接BD，

∵四邊形BCDE是正方形，

∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB，

∵C為AB的中點，

∴CD是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

∵BD為半徑，

∴AD是⊙B的切線；

（2）∵BD=BG，

∴∠BDG=∠G，

∵CD∥BE，

∴∠CDG=∠G，

∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°，

∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，

∴∠ADQ=∠AQD，

∴AD=AQ；

（3）連接DF，

在△BDF中，BD=BF，

∴∠BFD=∠BDF，

又∵∠DBF=45°，

∴∠BFD=∠BDF=67.5°，

∵∠GDB=22.5°，

在Rt△DEF與Rt△GCD中，

∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°，

∴Rt△DCF∽Rt△GED，

∴,

又∵CD=DE=BC，

∴BC2=CFEG．