Question

【題目】已知：如圖，邊長為2的正五邊形ABCDE內接于⊙O，AB、DC的延長線交于點F，過點E作EG∥CB交BA的延長線于點G．

（1）求證： ；
（2）證明：EG與⊙O相切，并求AG、BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：（1）易證五邊形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴ ，即BCAE=AGBF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ①

（2）

連接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC為等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF過圓心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG與⊙O相切．
∴ ．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
設AG=x，則 ，解得

∴AG= ，代入①中可得：BF=

【解析】欲證 ，可證△EAG∽△FBC及正五邊形ABCDE的特點得出；求AG、BF的長，需連接EF，易證明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依據EG與⊙O相切，用切線的性質得出．
【考點精析】本題主要考查了正多邊形和圓的相關知識點，需要掌握圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等才能正確解答此題．