Question

如圖所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角a（0°＜a＜90°）得△A₁BC_1，A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC、BC于D、F兩點。

（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數量關系？并證明你的結論；
（2）如圖2，當a=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，求ED的長。

Answer 1

（1）（2）四邊形是菱形.（3）ED

試題分析：（1）根據等邊對等角及旋轉的特征可得即可證得結論；
（2）先根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，再得到鄰邊相等即可判斷結論；
（3）過點作于點，解可得AE的長，結合菱形的性質即可求得結果。
（1）
證明：（證法一）
由旋轉可知，
∴
∴又
∴即
（證法二）
由旋轉可知，而
∴
∴∴
即
（2）四邊形是菱形.
證明：同理
∴四邊形是平行四邊形.
又∴四邊形是菱形.
（3）過點作于點，則

在中，
由（2）知四邊形是菱形，
∴
∴
點評：解答本題的關鍵是掌握好旋轉的性質，平行四邊形判定與性質，的菱形的判定與性質，選擇適當的條件解決問題。