Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D．
（1）尺規作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作△ABC外角∠CAM的平分線AN．
②過C作CE⊥AN，垂足為點E．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）①以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC、AM于兩點，再以這兩點為圓心，大于這兩點長度的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點N，畫射線AN即可；
②以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交AN于兩點，再以這兩點為圓心，大于這兩點長度的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點G，作直線CG，交AN于E；
以點B，C為圓心，大于BC的一半為半徑畫弧，兩弧的交點為M，從點M向BC作垂線，交BC于點N，MN就是所求的垂直平分線；
（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．首先證明四邊形ADCE為矩形，再證明DC=AD，所以證得四邊形ADCE為正方形．

解答：解：（1）如圖，AN、CE分別為所求；

（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵由作圖知AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=

1

2

×180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∴矩形ADCE是正方形．

點評：此題主要考查了對正方形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的性質等知識點的綜合運用，難度適中．