Question

（2013•啟東市一模）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，半徑為2，AB=6，求線段AD、AE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）《根據2011江蘇揚州市中考試題改編》

Answer 1

分析：（1）作出AD的垂直平分線交AB于點O，O為圓心，OA為半徑作圓即可得出答案，再利用平行線的判定得出∠ODB=∠C，由切線的判定得出即可；
（2）首先利用直角三角形的性質求出AD的長，進而得出△ADO的面積，進而得出扇形ODE的面積，即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，作AD的垂直平分線交AB于點O，O為圓心，OA為半徑作圓．
判斷結果：BC是⊙O的切線．
如圖2，連接OD． 
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，
 即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線．

（2）如圖3，過點O作OF⊥AD于點F，
∵r=2，AB=6，
∴OB=4，再由DO=2，OD⊥BC，
∴∠OBD=30°，∠DOB=60°，
∵OE=OD，
∴△EOD為等邊三角形，
即可得出∠OAD=∠ODA=30°，
∴FO=

1

2

AO=1，
∵AE=4，
∴DA=cos30°AE=

3

2

×AE=2

3

，
∵△ADO的面積為

1

2

×AD×=

1

2

×1×2

3

=

3

，
扇形ODE的面積為

60

360

×π×22=

2

3

π，
∴陰影部分的面積為：

3

+

2

3

π．

點評：此題主要考查了切線的判定以及扇形面積求法和三角形面積求法等知識，利用銳角三角函數得出AD的長是解題關鍵．