Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；

（2）求證：DE是⊙O的切線；

（3）若⊙O的直徑為18，cosB=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4.

【解析】

（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；

（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；

（3）連接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，則AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．

（1）證明：連接CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴CD⊥AB，又∵AC=BC，

∴AD=BD，

∴點D是AB的中點；

（2）證明：連接OD，

∵BD=DA，BO=OC，

∴DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切線；

（3）∵AC=BC，

∴∠B=∠A，

∴cos∠B=cos∠A=，

∵cos∠B==，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cos∠A==，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE==4．