Question

【題目】如圖，中，，的平分線和的外角平分線相交于點，分別交和的延長線于，.過作交的延長線于點，交的延長線于點，連接交于點.下列結(jié)論：①；②垂直平分；③；④；其中正確的結(jié)論有（ ）

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義∠ABP＝∠ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB＝∠FPB，再利用“角邊角”證明△ABP和△FBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到AB＝BF，AP＝PF；

③根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP＝∠FDP，然后利用“角角邊”證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF＝AH；

④求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根據(jù)等角對等邊可得DG＝AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH＝GF，然后根據(jù)FG=GH,AF=即可得到.

解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，

∴∠ABP＝∠ABC，

∠CAP＝（90°＋∠ABC）＝45°＋∠ABC，

在△ABP中，∠APB＝180°∠BAP∠ABP，

＝180°（45°＋∠ABC＋90°∠ABC）∠ABC，

＝180°45°∠ABC90°＋∠ABC∠ABC，

＝45°，故本小題正確；

②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已證），

∴∠APB＝∠FPB＝45°，

∵∵PB為∠ABC的角平分線，

∴∠ABP＝∠FBP，

在△ABP和△FBP中，

，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴AB＝BF，AP＝PF；

∴垂直平分，故②正確；

③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，

∴∠FDP＋∠HAP＝90°，∠AHP＋∠HAP＝90°，

∴∠AHP＝∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH＝∠FPD＝90°，

在△AHP與△FDP中，

，

∴△AHP≌△FDP（AAS），

∴DF＝AH，

∵BD＝DF＋BF，

∴BD＝AH＋AB，

∴BDAH＝AB，故③小題正確；

④∵AP＝PF，PF⊥AD，

∴∠PAF＝45°，

∴∠ADG＝∠DAG＝45°，

∴DG＝AG，

∵∠PAF＝45°，AG⊥DH，

∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG＝AG，GH＝GF，

∴DG＝GH＋AF，

∴FG=GH,AF=

故.

綜上所述①②③④正確．

故選：A．