Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，BC=4，AC=8，Rt△ABC的斜邊在x軸的正半軸上，點A與原點重合，隨著頂點A由O點出發沿y軸的正半軸方向滑動，點B也沿著x軸向點O滑動，直到與點O重合時運動結束．在這個運動過程中．

（1）AB中點P經過的路徑長_____．

（2）點C運動的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】 π 8﹣12

【解析】（1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，確定中點P的運動路徑：以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，半徑OP=AB=2，代入周長公式計算即可；

（2）分為兩種情況：

①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，點C運動的路徑長是CC′的長；

②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，如圖3，此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′；

分別計算并相加．

（1）如圖1．

∵∠AOB=90°，P為AB的中點，∴OP=AB．

∵AB=4，∴OP=2，∴AB中點P運動的軌跡是以O為圓心，以OP為半徑的圓弧，即AB中點P經過的路徑長=×2×2π=π；

（2）①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，點C運動的路徑長是CC′的長，∴AC′=OC=8．

∵AC′∥OB，∴∠AC′O=∠COB，∴cos∠AC′O=cos∠COB===，∴OC′=4，∴CC′=4﹣8；

②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，span>如圖3，此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′，CC′=OC′﹣BC=4﹣4．

綜上所述：點C運動的路徑長是：4﹣8+4﹣4=8﹣12；

故答案為：（1）π； （2）8﹣12．