Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A—B—C—D回到點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，連接BP，AP，△ABP的面積為長(zhǎng)方形的面積三分之一？

(3)Q為AD邊上的點(diǎn)，且DQ=5，當(dāng)t為何值時(shí)，以長(zhǎng)方形的兩個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形與△DCQ全等？

Answer 1

【答案】(1)2；(2)4秒或8秒；(3)t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.

【解析】

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上，即可得到BP的長(zhǎng)度；

（2）由△ABP的面積為長(zhǎng)方形的面積三分之一，則分為點(diǎn)P在BC上和點(diǎn)P在AD上兩大類進(jìn)行討論，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，要使得一個(gè)三角形與△DCQ全等，則點(diǎn)P的位置可以有四個(gè)，即點(diǎn)P分別運(yùn)動(dòng)到P1，P2，P3 ，P4時(shí)，有△DCP1，△ABP2，△ABP3，△DCP4與△DCQ全等，根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置，即可計(jì)算出時(shí)間.

解：（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，

點(diǎn)P走過(guò)的路程為：，

∵AB=4，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上，

∴BP=6-4=2；

（2）∵矩形ABCD的面積=，

∴△ABP的面積=，

∵AB=4，

∴△ABP的高為：，

如圖：

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，有BP=4，

∴時(shí)間為：s；

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，有AP=4，

∴時(shí)間為：s；

∴當(dāng)時(shí)間t=4s或t=8s時(shí)，△ABP的面積為長(zhǎng)方形的面積三分之一；

（3）根據(jù)題意，如圖，連接CQ，有AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，DQ=5，

∴要使得一個(gè)三角形與△DCQ全等，則另一直角邊必須等于DQ.

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，CP1=DQ=5，此時(shí)△DCQ≌△CDP1，

∴點(diǎn)P的路程為：AB+BP1=4+1=5，

∴時(shí)間；

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P2時(shí)，BP2= DQ=5，此時(shí)△CDQ≌△ABP2，

∴點(diǎn)P的路程為：AB+BP2=4+5=9，

∴時(shí)間；

③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P3時(shí)，AP3= DQ=5，此時(shí)△CDQ≌△ABP3，

∴點(diǎn)P的路程為：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15，

∴時(shí)間；

④當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P4時(shí)，即P與Q重合時(shí)，DP4=DQ=5，△CDQ≌△CDP4，

∴點(diǎn)P的路程為：AB+BC+CD+DP4=4+6+4+5=19，

∴時(shí)間；

綜合上述，時(shí)間t的值可以是：t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.