Question

【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過、兩點．

求拋物線的解析式；

如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標和面積的最大值？

在的結論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，即點的坐標是時，的面積最大，最大面積是；（3）點的坐標是、、．

【解析】

（1）首先根據直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）；然后根據拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．

（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根據三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．

（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）．

∵拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，∴，解得：，∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F．

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3

∴當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，由（2），可得點M的橫坐標是2．

∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，）．

又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則

解得：或．

∵x＜0，∴點P的坐標是（﹣3，﹣）．

②如圖3，由（2），可得點M的橫坐標是2．

∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，）．

又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則

解得：或．

∵x＞0，∴點P的坐標是（5，﹣）．

③如圖4，由（2），可得點M的橫坐標是2．

∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，）．

又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==．

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則，解得：，∴點P的坐標是（﹣1，）．

綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．